高中数学必修4

1.已知a,b向量，可以知道：

a乘b（点乘）

=（√3sinx*cosx)+(cosx*cosx)

=（√3/2）sin2x+[(1/2)cos2x+1/2]

=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+1/2

=sin(2x+π/6)+1/2

这样将上式带入到f(x)的表达式中，就可以得到：

f(x)=2sin(2x+π/6)+2m>>>(*)

(对应：f(x)=Asin(ωx+φ)+B)

其中m是常数，那么也就有f(x)的最小正周期为：T=2π/ω=π

2.题目所求区间x∈[0,π/2]包含在题目中函数的一个周期[-π/3,2π/3]内

可以根据正弦函数的单调性求解，

对f(x),知道：

取最小值满足的条件是2x+π/6=2nπ+3π/2,即x=nπ+2π/3;

取最大值满足的条件是2x+π/6=2nπ+π/2,即x=nπ+π/6

于是我们知道函数在一个周期[-π/3,2π/3]内的单调性如下：

单调递增区间：[-π/3,π/6]

单调递减区间：[π/6,2π/3]

那么也就是说函数在区间内从[0,π/6]递增，再从[π/6,π/2]递减

可以知道函数的最小值必然是f(0)和f(π/2)中的一个或者两个都是

根据三角函数的对称性：我们知道以π/6为对称轴，令g(x)=sin(2x+π/6),有g(0)=g(π/3)

由于区间[π/6,π/2]内递减，所以我们知道g(π/2)<g(π/3)=g(0)

所以函数区间内的最小值是g(π/2)

也就是f(x)的最小值是f(π/2);

根据(*)式有：f(π/2)=2sin(π+π/6)+2m=2m-1

根据题意有2m-1=5

所以m=3